Задача 52727

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь треугольника можно выразить по формуле S = (p - a) r_a , где r_a — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной a , p — полупериметр треугольника.

Решение

Пусть O — центр окружности радиуса r_a , касающейся стороны BC=a треугольника ABC в точке Q , а продолжний сторон AB=c и AC=b — в точках M и N соответственно. Тогда

S_{Δ ABC} = S_{Δ AOB}+S_{Δ AOC}-S_{Δ BOC}= AB· OM + AC· ON - BC· OQ=

= c · r_a + b· r_a - a· r_a= r_a= (p - a)r_a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	392