Информация о задаче

Задача 52740

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC на основании AC взята точка M так, что AM = a, MC = b. В треугольники ABM и CBM вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со отрезком BM.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной.

Решение

Пусть P и Q — точки касания окружностей, вписанных в треугольники ABM и CBM, со стороной BM. Тогда искомое расстояние равно | BP - BQ|.

Пусть p₁ и p₂ — полупериметры этих треугольников. Тогда BP = p₁ - a, BQ = p₂ - b. Следовательно,

| BP - BQ| = | p₁ - a - p₂ + b| =

= $\displaystyle \left\vert\vphantom{b - a - \frac{b - a}{2}}\right.$ b - a - $\displaystyle {\frac{b - a}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{b - a - \frac{b - a}{2}}\right\vert$ = $\displaystyle {\frac{\vert a - b\vert}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\vert a - b\vert}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	405