Информация о задаче

Задача 52744

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность S₁, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BD в точке M; окружность S₂, вписанная в треугольник BCD, — в точке N. Отношение радиусов окружностей S₁ и S₂ равно ${\frac{7}{4}}$ . Известно, что BM = 3, MN = ND = 1. Найдите стороны треугольника ABC.

Подсказка

Найдите cos $\angle$ BDC и примените теорему косинусов (или воспользуйтесь формулой Герона)

Решение

Первый способ.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей S₁ и S₂, r₁ и r₂ — их радиусы, P и Q — точки касания со сторонами соответственно AD и DC. Обозначим $\angle$ BDC = $\alpha$ . Поскольку $\angle$ O₁DO₂ = 90^o и $\angle$ O₂DQ = ${\frac{\alpha}{2}}$ , то $\angle$ O₁DP = 90^o - ${\frac{\alpha}{2}}$ . Поэтому

r₁ = DPctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = DMctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 2ctg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , r₂ = DQtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = DNtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Значит, r₁r₂ = 2.

С другой стороны, ${\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ = ${\frac{7}{4}}$ . Из полученной системы уравнений находим, что

r₂ = $\displaystyle \sqrt{\frac{8}{7}}$ , r₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{8}{7}}$ .

Следовательно,

tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = r₂ = $\displaystyle \sqrt{\frac{8}{7}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1 - {\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + {\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{15}}$ .

Обозначим CQ = x. В треугольнике BCD известно, что

BD = 5, CD = 1 + x, BC = x + 4, cos $\displaystyle \angle$ BDC = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{15}}$ .

По теореме косинусов

(x + 4)² = 25 + (x + 1)² + 2^.5^.(x + 1)^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{15}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = 2. Аналогично находим, что AP = 7. Следовательно,

AC = AP + PD + DQ + QC = 7 + 2 + 1 + 2 = 12,

BC = CQ + BN = 2 + 4 = 6, AB = AP + BM = 7 + 3 = 10.

Второй способ.

Обозначим AP = x (P — точка касания первой окружности со стороной AD) и выразим площадь треугольника ABD по формуле Герона, а также через полупериметр и r₁. Решив полученное уравнение, найдём, что x = 7. Аналогично найдём CQ.

Ответ

AB = 10, BC = 6, AC = 12.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	409