ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52744
Условие
Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность
S1, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BD в точке M;
окружность S2, вписанная в треугольник BCD, — в точке N.
Отношение радиусов окружностей S1 и S2 равно
Подсказка
Найдите
cos
Решение
Первый способ.
Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2,
r1 и r2 — их радиусы, P и Q — точки касания со сторонами
соответственно AD и DC. Обозначим
r1 = DPctg
Значит,
r1r2 = 2.
С другой стороны,
r2 =
Следовательно,
tg
Обозначим CQ = x. В треугольнике BCD известно, что
BD = 5, CD = 1 + x, BC = x + 4, cos
По теореме косинусов
(x + 4)2 = 25 + (x + 1)2 + 2 . 5 . (x + 1) .
Из этого уравнения находим, что x = 2.
Аналогично находим, что AP = 7. Следовательно,
AC = AP + PD + DQ + QC = 7 + 2 + 1 + 2 = 12,
BC = CQ + BN = 2 + 4 = 6, AB = AP + BM = 7 + 3 = 10.
Второй способ.
Обозначим AP = x (P — точка касания первой окружности со стороной AD) и выразим площадь треугольника ABD по формуле Герона, а также через полупериметр и r1. Решив полученное уравнение, найдём, что x = 7. Аналогично найдём CQ.
Ответ
AB = 10, BC = 6, AC = 12.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке