Информация о задаче

Задача 52745

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна h.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольник, образованный пересечением прямых, содержащих катеты исходного треугольника, и радиусами окружностей, проведёнными в точки касания с этими катетами.

Решение

Пусть ABC — данный треугольник, $\angle$ C = 90^o, CD — его высота, O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, r₁ и r₂ — их радиусы, P и Q — точки касания со сторонами AC и BC, L и K — со стороной DC, M и N — точки пересечения прямой O₁O₂ со сторонами AC и BC, F — точка пересечения прямых PO₁ и QO₂.

Тогда PCQF — прямоугольник, PF = CQ, QF = CP. Поэтому

FO₁ = PF - r₁ = CQ - r₁ = CK - r₁,

FO₂ = FQ - r₂ = CP - r₂ = CL - r₂.

Поскольку CK + r₂ = CL + r₁ = CD, то CK - r₁ = CL - r₂. Поэтому $\angle$ FO₁O₂ = 45^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CNM = 45^o, CN = CQ + r₂ = CK + r₂ = CD = h.

Ответ

45^o; 45^o; 90^o; ${\frac{h^{2}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	410