Информация о задаче

Задача 52746

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны 4 и 3 соответственно. Точка D делит гипотенузу BC пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.

Подсказка

Если O₁ и O₂ — центры данных окружностей, то треугольник O₁DO₂ — прямоугольный.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD соответственно, P и Q — их точки касания со стороной BC. Обозначим $\angle$ ADB = $\alpha$ .

Из равнобедренного треугольника ADB находим, что

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ ,

DQ = $\displaystyle {\frac{DB + AD + AB)}{2}}$ – AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Аналогично находим, что DP = 1. Тогда

DO₂ = $\displaystyle {\frac{DQ}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ ,

DO₁ = $\displaystyle {\frac{DP}{\cos \left( 90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{DP}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ ,

O₁O²₂ = DO²₁ + DO²₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{144}}$ .

Следовательно,

O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{13}}{12}}$ .

Ответ

${\frac{5\sqrt{3}}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	411