Информация о задаче

Задача 52747

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC со сторонами AB = $\sqrt{3}$ , BC = 4, AC = $\sqrt{7}$ проведена медиана BD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Решение

Поскольку M и N — точки касания данных окружностей с общей стороной BD треугольников ABD и ACD, то

MN = | DM - DN| =

= $\displaystyle \left\vert\vphantom{\left(\frac{AB + BD + AD}{2} - AB\right) - \left(\frac{BC + BD + CD}{2} - BC\right)}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB + BD + AD}{2} - AB}\right.$ $\displaystyle {\frac{AB + BD + AD}{2}}$ - AB $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB + BD + AD}{2} - AB}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{BC + BD + CD}{2} - BC}\right.$ $\displaystyle {\frac{BC + BD + CD}{2}}$ - BC $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{BC + BD + CD}{2} - BC}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{AB + BD + AD}{2} - AB\right) - \left(\frac{BC + BD + CD}{2} - BC\right)}\right\vert$ =

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\left(\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7}}{2} + B... ...qrt{3}\right) - \left(\frac{4 + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - 4\right)}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - \sqrt{3}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2}}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - \sqrt{3}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{4 + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - 4}\right.$ $\displaystyle {\frac{4 + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2}}$ - 4 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{4 + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - 4}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2... ...3}\right) - \left(\frac{4 + \frac{\sqrt{7}}{2} + BD}{2} - 4\right)}\right\vert$ =

= 2 - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Ответ

2 - ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	412