Задача 52758

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 и 12.

Подсказка

Расстояние от вершины меньшего острого угла до центра окружности равно разности гипотенузы и радиуса окружности.

Решение

  Пусть центр O окружности лежит на гипотенузе AB,  BC = 5,  AC = 12.  Тогда  AB² = 5² + 12² = 13².
  Пусть K – точка касания окружности с катетом AC, R – искомый радиус. Из подобия треугольников AKO и ACB получаем, что  R : 5 = (13 – R) : 13,  откуда
R = ⁶⁵/₁₈.

Ответ

⁶⁵/₁₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	423