Задача 52777

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, которая касается боковой стороны AB в точке M. Из точки M опущен перпендикуляр ML на сторону AC. Найдите величину угла C, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1, а площадь четырёхугольника LMBC равна s.

Подсказка

Треугольник AML подобен треугольнику ABK.

Решение

  Обозначим искомый угол через α. Пусть K – точка касания вписанной окружности со стороной AC. Тогда K – середина AC. Треугольники AML и ABK подобны c коэффициентом  ^AM/_AB = ^AK/_AB = cos α.  Поэтому  1 – s = S_AML = cos²α S_ABK = ½ cos²α.  Следовательно,  cos²a = 2(1 – s).

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	442