Информация о задаче

Задача 52787

Темы:	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Подсказка

Соедините центр вписанной окружности с вершинами треугольника и сложите площади полученных треугольников.

Решение

Соединим центр O вписанной окружности радиуса r треугольника ABC с вершинами треугольника. Пусть BC = a, AC = b, AB = c. Тогда

S_ABC = S_BOC + S_AOC + S_AOB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ar + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ cr = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$ r = pr,

где p — полупериметр треугольника.

Аналогичная формула верна для площади любого описанного многоугольника.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	452