Информация о задаче

Задача 52790

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если её центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен a.

Подсказка

Выразите через искомый радиус расстояние от центра окружности до вершин острых углов данного треугольника.

Решение

Пусть данная окружность имеет центр O на гипотенузе AB, касается катета BC в точке K и проходит через вершину A. Обозначим через x радиус этой окружности. Тогда в треугольнике OKB известно, что

$\displaystyle \angle$ B = 45^o, OK = x, OB = a $\displaystyle \sqrt{2}$ - x.

Поэтому a $\sqrt{2}$ - x = x $\sqrt{2}$ . Отсюда находим, что x = a(2 - $\sqrt{2}$ ).

Ответ

a(2 - $\sqrt{2}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	455