Задача 52793

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN, O – центр описанной окружности. Известно, что  ∠B = β,  а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите AC.

Подсказка

Диагонали четырёхугольника NOMB взаимно перпендикулярны.

Решение

  На касательной к описанной окружности Ω, проведённой в точке B, отметим точку P так, чтобы она и точка C лежали по разные стороны от прямой AB. Поскольку  ∠ABP = ∠C = ∠BNM,  то  BP || MN,  а  OB ⊥ MN.  Треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos β, значит,  MN = AC cos β.

             

  Кроме того,  AC = 2OB sin β.  Следовательно,  S = ½ MN·OB = ¼ AC² ctg β,  откуда  AC = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	458