Информация о задаче

Задача 52796

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12, взяты точки A и B, причём OA = 15, AB = 5 и A лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C — точка пересечения этих касательных.

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику ABC.

Решение

Обозначим через M и N точки касания окружности с прямыми, проходящими через точки A и B соответственно, $\angle$ OAM = $\alpha$ , $\angle$ OBN = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle {\frac{OM}{OA}}$ = sin $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle {\frac{ON}{OB}}$ = sin $\displaystyle \beta$ .

поэтому

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ ,

BC = $\displaystyle {\frac{AB\sin \alpha}{\sin (\alpha -\beta )}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{100}{7}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BC sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{100}{7}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{150}{7}}$ .

Ответ

${\frac{150}{7}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	461