Задача 52799

Темы:    [ Концентрические окружности ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно 2, а наибольшее равно 16. Найдите радиусы окружностей.

Подсказка

Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно разности их радиусов, а наибольшее — сумме.

Решение

Пусть O — центр окружностей, r и R — их радиусы (r < R). Если X и Y — произвольные точки соответственно меньшей и большей окружностей, то

r + XY = OX + XY OY, или XY R - r,

XY OX + OY = r + R.

Поэтому R + r = 16 и R - r = 2. Из полученной системы уравнений находим, что R = 9, r = 7.

Ответ

7 и 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	464