Задача 52800

Тема:    [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Наименьшее расстояние от данной точки до точек окружности равно a , и наибольшее равно b . Найдите радиус.

Решение

Пусть точка M лежит вне окружности с центром O (рис.1) и AB = 2R — диаметр этой окружности, принадлежащий прямой OM ( B между O и M ). Если X — произвольная точка окружности, то

MX OX + OM = R + OM = AM.
Поэтому AM — наибольшее расстояние от точки M до точек окружности, а т.к.
MX+R = MX + OX OM = OB + BM= R+BM,
то MX BM . Поэтому BM — наименьшее расстояние от точки M до точек окружности, Следовательно,
R = = .
Если точка M — внутри круга (рис.2), то аналогично найдём, что
R = .
Если же точка лежит на окружности, то a=0 и b=2R , значит, R== .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	465