Задача 52810

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a , BC = b и угол ABC = a . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB .

Решение

Пусть O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников DAB и BCD соответственно, O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поскольку треугольники DAB и BCD равны, то радиусы окружностей также равны. По свойству параллелограмма BAD = 180^o-a . Пусть a> 90^o . По теореме косинусов

BD== .
Вписанный в окружность с центром O1 угол BAD равен половине центрального угла BO1D , значит,
BO1O2 = BO1D = BAD = 180^o- a.
Прямая O1O2 — серединный перпендикуляр к диагонали BD , Поэтому
O1O2 = 2O1O = 2· BO ctg BO1O=

=2· BD ctg BO1O= BD ctg (180^o- a) = -BD ctg a =

= - ctg a.
Если же a 90^o , то аналогично получим, что
O1O2 = ctg a.

Ответ

| ctg a| .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	475