Информация о задаче

Задача 52811

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Во вписанном в окружность четырёхугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна a, а прилежащий к ней угол делится диагональю на части $\alpha$ и $\beta$ (угол $\alpha$ прилежит к данной стороне). Найдите диагонали четырёхугольника.

Подсказка

Радиус окружности, описанной около треугольника, равен стороне треугольника, делённой на удвоенный синус противолежащего угла.

Решение

Пусть угол D четырёхугольника ABCD — острый,

CD $\displaystyle \perp$ AB, CD = a, $\displaystyle \angle$ CDB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle \beta$ ,

R — радиус окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$ BAD = 90^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CAD = 90^o - 2 $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ .

Поэтому

R = $\displaystyle {\frac{CD}{2\sin (90^{\circ }- 2\alpha - \beta)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\cos (2\alpha + \beta)}}$ ,

AC = 2R sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{a\sin (\alpha + \beta)}{\cos (2\alpha + \beta)}}$ ,

BD = 2R sin(90^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{a\cos (\alpha + \beta)}{\cos (2\alpha + \beta)}}$ .

Если D — тупой угол, то решение аналогично.

Ответ

${\frac{a\sin (\alpha +\beta)}{\cos (2\alpha +\beta)}}$ ; ${\frac{a\cos (\alpha +\beta)}{\cos (2\alpha +\beta)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	476