ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52825
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCE основание AE равно 16, CE = 8$ \sqrt{3}$. Окружность, проходящая через точки A, B и C, вторично пересекает прямую AE в точке H; $ \angle$AHB = 60o. Найдите AC.


Подсказка

Примените теорему косинусов.


Решение

Пусть O1 — центр данной окружности, N — её точка касания с прямой AC, K — со стороной BC.

Из прямоугольного треугольника AO1N находим, что

AN = O1Nctg30o = $\displaystyle \sqrt{3}$.

С другой стороны, AN равно полупериметру p треугольника ABC. Радиус вписанной окружности треугольника ABC равен

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{p}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3}}}$ = 2 - $\displaystyle \sqrt{3}$.

Если O — центр этой окружности, а P — точка касания со стороной AC, то

O1O = AO1 - AO = 2O1N - 2OP = 2($\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).

Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на продолжение отрезка O1K. Тогда

cos$\displaystyle \angle$OO1F = $\displaystyle {\frac{O_{1}F}{O_{1}O}}$ = $\displaystyle {\frac{1+2 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Поэтому $ \angle$OO1F = 30o. Если отрезки OO1 и BC пересекаются и точке Q, то

$\displaystyle \angle$AQB = $\displaystyle \angle$O1QK = 60o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$AQB - $\displaystyle \angle$QAC = 60o - 30o = 30o.


Ответ

8.

Трапеция ABCH вписана в окружность, поэтому она — равнобедренная. Следовательно, $ \angle$CAH = $ \angle$AHB = 60o. Обозначим AC = x и применим теорему косинусов к треугольнику ACE:

(8$\displaystyle \sqrt{3}$)2 = x2 + 162 - 16x.

Отсюда находим, что x = 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 491

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .