Информация о задаче

Задача 52826

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ BAC = 75^o, AB = 1, AC = $\sqrt{6}$ . На стороне BC выбрана точка M, причём $\angle$ BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

Подсказка

Обозначьте AN через x, выразите BN и CN через радиус описанной окружности треугольника ABC и примените теорему косинусов к треугольникам ABN и ACN (или воспользуйтесь теоремой Птолемея).

Решение

Первый способ.

Пусть AN = x, R — радиус описанной окружности треугольника. Тогда

BN = 2R sin 30^o = R, CN = 2R sin 45^o = R $\displaystyle \sqrt{2}$ .

По теореме косинусов из треугольников ABN и ACN находим, что

BN² = R² = AB² + AN² - 2AB^.AN cos 30^o = 1 + x² - x $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

CN² = 2R² = 6 + x² - 2 $\displaystyle \sqrt{6}$ x^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = 6 + x² - 2x $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Из полученной системы уравнений находим, что x² = 4. Следовательно, AN = x = 2.

Второй способ.

Пусть R — радиус окружности. Во вписанном четырёхугольнике ABNC имеем:

DN = 2R sin 30^o = R, CN = 2R sin 45^o = R $\displaystyle \sqrt{2}$ , DC = 2R sin 75^o.

По теореме Птолемея

AB^.CN + AC^.BN = AN^.BC, или R $\displaystyle \sqrt{2}$ + R $\displaystyle \sqrt{6}$ = AN^.2R sin 75^o.

Следовательно,

AN = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sin 75^{\circ }}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}}$ = 2.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	492