Задача 52828

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N соответственно. Точка M удалена от вершин B, C и D на расстояния 4, 3 и 2 соответственно. Найдите MN.

Решение

  Заметим, что ABCM – равнобедренная трапеция. При этом MB – её диагональ, а MC – боковая сторона (поскольку сторона меньше диагонали). Поэтому точка M лежит на луче AC.
  Поскольку  ∠ABC = ∠ADC = ∠NDM,  ∠ACB = ∠MAC = ∠MNC,  треугольники NDM и CBA подобны. Следовательно,  MN : AC = MD : AB.  Кроме того,
AB = MC = 3,  AC = MB = 4.
  Поэтому  MN = AC·^MD/_AB = ⁸/₃.

Ответ

⁸/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	494