Задача 52829

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

Подсказка

Найдите стороны треугольника с вершинами в центрах окружностей и в одном из концов искомой хорды.

Решение

  Пусть O и O₁ – центры первой и второй окружностей, R и r – их радиусы, AM и CN — биссектрисы углов при основании, Q – точка их пересечения, XY – искомая общая хорда. Тогда  R = ,  ∠NQM = 150°,  ∠NO₁M = 60°,  r = MN = AC·^BM/_BC = AC·^AB/_AB+AC = ,  ∠O₁MB = ∠MO₁B = 30°, 
  Искомая хорда равна удвоенной высоте треугольника XOO₁, проведённой из вершины X, причём все стороны этого треугольника известны:       Имеем:

 

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	495