Информация о задаче

Задача 52842

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около треугольника ABC, в котором BC = a, $\angle$ B = $\alpha$ , $\angle$ C = $\beta$ , описана окружность. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке K. Найдите AK.

Подсказка

Сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha$ ), 2R = $\displaystyle {\frac{BC}{\sin (\beta + \alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin (\beta + \alpha)}}$ ,

$\displaystyle \angle$ ABK = $\displaystyle \angle$ ABC + $\displaystyle \angle$ CBK = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )) = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ .

Следовательно,

AK = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABK = 2R sin $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}+ \frac{\alpha - \beta}{2}}\right.$ 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}+ \frac{\alpha - \beta}{2}}\right)$ =

= 2R cos $\displaystyle {\frac{\beta - \alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\cos \frac{\beta - \alpha}{2}}{\sin (\beta + \alpha)}}$ .

Ответ

${\frac{a\cos \frac{\beta - \alpha}{2}}{\sin (\beta + \alpha)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	508