Информация о задаче

Задача 52847

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что BC = a, $\angle$ A = $\alpha$ , $\angle$ B = $\beta$ . Найдите радиус окружности, касающейся стороны AC в точке A и касающейся стороны BC.

Подсказка

Примените теорему синусов.

Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда OA — её радиус,

OA = ACtg $\displaystyle \angle$ ACO = ACtg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ACB.

Из данного треугольника по теореме синусов находим, что AC = ${\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}$ .

Поскольку $\angle$ ACB = 180^o - $\alpha$ - $\beta$ , то

OA = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta {\rm tg }\left(90^{\circ} - \frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta {\rm ctg }\frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \alpha}}$ .

Ответ

${\frac{a\sin \beta {\rm ctg }\frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	513