Информация о задаче

Задача 52865

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждое из оснований высот треугольника проецируется на его стороны. Докажите, что длина отрезка, соединяющего эти проекции не зависит от выбора высоты.

Подсказка

Докажите, что длина такого отрезка равна соответствующей высоте, умноженной на синус угла, из вершины которого проведена высота.

Решение

Пусть h_a и h_c — высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C соответственно, a и c — длины отрезков, соединяющих проекции оснований этих высот на стороны треугольника.

Поскольку вершина треугольника, основание соответствующей высоты и проекции основания этой высоты на стороны треугольника лежат на одной окружности, то

a = h_asin $\displaystyle \angle$ A, c = h_csin $\displaystyle \angle$ C,

а т.к.

$\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \angle C}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{c}}{\sin \angle A}}$ = AC,

то a = c.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	532