Задача 52878

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами.

Решение

  Пусть окружность радиуса 13 с центром O1 и окружность радиуса 15 с центром O₂ пересекаются в точках A и B. Точки O₁ и O₂ – равноудалены от концов отрезка AB, поэтому прямая O₁O₂ – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Пусть M – середина AB. По теореме Пифагора  O₁M² = 13² – 12² = 25,
O₂M² = 15² – 12² = 81.
  Если точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB (рис. слева), то  O₁O₂ = MO₁ + MO₂ = 5 + 9 = 14.
  Если же точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой AB (рис. справа), то  O₁O₂ = MO₂ – MO₁ = 9 – 5 = 4.

               

Ответ

14 или 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	545