Задача 52889

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.

Решение

  Пусть O и O₂ – центры окружностей радиусов 27 и 13, A и B – точки касания окружностей с их общей внешней касательной, C и D соответственно – с внутренней, O₂P – перпендикуляр, опущенный на OA (рис. слева). По теореме Пифагора  O₂P² = O₂O² – OP² = 50² – (27 – 13)² = 48²,  поэтому  AB = O₂P = 48.
  Опустим перпендикуляр OQ на продолжение радиуса O₂D (рис. справа). Тогда  СD² = OQ² = O₂O² – O₂Q² = 50² – (27 + 13)² = 30².

Ответ

48 и 30.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	556