Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

   Решение

---

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника радиуса, равного меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 и 527 (начиная от меньшего катета). Найдите катеты.

Подсказка

Примените теорему о высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.

Решение

Пусть C — вершина прямого угла, BC — меньший катет, D — точка данной окружности, лежащая на гипотенузе AB, BD = 98, AD = 527.

Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB. Тогда

Поэтому

Следовательно, AC = 600.

Ответ

175 и 600.

Источники и прецеденты использования