Информация о задаче

Задача 52906

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты.

Подсказка

Соедините концы указанных отрезков с основаниями перпендикуляра.

Решение

Пусть данная окружность пересекает катеты AC и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, отличных от точки C, причём CD = 12 и CE = 18. Если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на AB, то

$\displaystyle \angle$ MDC = $\displaystyle \angle$ MEC = 90^o, DM = CE = 18, ME = CD = 12.

Из прямоугольных треугольников AMC и BMC находим, что

DM² = AD^.DC, ME² = BE^.EC.

Значит,

AD = $\displaystyle {\frac{DM^{2}}{DC}}$ = $\displaystyle {\frac{18^{2}}{12}}$ = 27, BE = $\displaystyle {\frac{ME^{2}}{EC}}$ = $\displaystyle {\frac{12^{2}}{18}}$ = 8.

Следовательно,

AC = AD + DC = 27 + 12 = 39, BC = BE + EC = 8 + 18 = 26.

Ответ

39 и 26.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	573