|
|
 |
Условие
На окружности радиуса 12 с центром в точке O лежат точки A и B. Прямые AC и BC касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке M вписана в треугольник ABC и касается стороны AC в точке K, а стороны BC – в точке H. Расстояние от точки M до прямой KH равно 3. Найдите ∠AOB.
Подсказка
Составьте уравнение относительно половины искомого угла или докажите, что центр второй окружности расположен на первой.
Решение
Пусть P – середина AB, Q – середина KH.
Первый способ. Пусть M' – середина меньшей дуги AB, r – радиус вписанной окружности ω треугольника ABC. Тогда ∠M'AB = ½ ⌣ M'B = ½ ⌣ M'A = ∠CAM', то есть AM' – биссектриса угла A. Следовательно, точка M' совпадает с центром M окружности ω.
Из подобия треугольников OPB и MQH следует, что
MQ : OF = MH : OM, или 3/12–r = r/12. Отсюда r = 6, то есть OP = 12 – 6 = 6 = ½ OB.
Следовательно, ∠POB = 60°, а ∠AOB = 120°.
Второй способ. Обозначим ∠COB = α. Тогда HB = BP = OB sin∠COB = 12 sin α.
С другой стороны, HB = BC – CH = OB tg α = (12 – 3/cos α) tg α.
Таким образом, 12 sin α = (12 – 3/cos α) tg α, или 4cos²α – 4cos α + 1 = 0. Откуда cos α = ½. Поскольку α – острый угол, то α = 60° и ∠AOB = 2α = 120°.
Ответ
120°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 595 |
