Информация о задаче

Задача 52930

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне AB. Некоторая окружность касается стороны BC параллелограмма ABCD в точке P и касается прямой, проходящей через вершины A и B этого же параллелограмма, в точке A. Через точку P проведён перпендикуляр PQ к стороне AB (точка Q — основание этого перпендикуляра). Найдите угол ABC, если известно, что площадь параллалограмма ABCD равна ${\frac{1}{2}}$ , а площадь пятиугольника QPCDA равна S.

Подсказка

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Решение

Поскольку AB $\perp$ AC и PQ $\perp$ AB, то PQ || AC и треугольники QBP и ABC подобны. Следовательно,

cos $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{AB}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{BP}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{\Delta QPB}}}{\sqrt{S_{\Delta ABC}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{ABCD} - S_{QPCDA}}}{\sqrt{S_{\Delta ABC}}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2 - 4S}$ .

Ответ

arccos $\sqrt{2 - 4S}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	597