ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52934
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хорды AB и AC равны между собой. Образованный ими вписанный в окружность угол равен 30o. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.


Подсказка

Часть круга, заключённого в данном угле, состоит из сектора с углом 60o и двух равных равнобедренных треугольников.


Решение

Поскольку треугольник ABC остроугольный, то центр его описанной окружности расположен внутри треугольника. Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Часть круга, заключённая в данном угле, состоит из сектора BOC с углом $ \angle$BOC, равным 60o, и двух равных равнобедренных треугольников AOB и AOC с углами при вершинах, равными $ {\frac{360^{\circ} - 60^{\circ}}{2}}$ = 150o.

Площадь сектора составляет шестую часть плащади круга, т.е. $ {\frac{\pi R^{2}}{6}}$, а площадь каждого треугольника равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$R2sin 150o = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$.

Следовательно, искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{\frac{\pi R^{2}}{6} + \frac{R^{2}}{2}}{\pi R^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi + 3}{6\pi}}$.


Ответ

$ {\frac{\pi + 3}{6\pi}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 601

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .