Информация о задаче

Задача 52934

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Хорды AB и AC равны между собой. Образованный ими вписанный в окружность угол равен 30^o. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.

Подсказка

Часть круга, заключённого в данном угле, состоит из сектора с углом 60^o и двух равных равнобедренных треугольников.

Решение

Поскольку треугольник ABC остроугольный, то центр его описанной окружности расположен внутри треугольника. Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Часть круга, заключённая в данном угле, состоит из сектора BOC с углом $\angle$ BOC, равным 60^o, и двух равных равнобедренных треугольников AOB и AOC с углами при вершинах, равными ${\frac{360^{\circ} - 60^{\circ}}{2}}$ = 150^o.

Площадь сектора составляет шестую часть плащади круга, т.е. ${\frac{\pi R^{2}}{6}}$ , а площадь каждого треугольника равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²sin 150^o = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$ .

Следовательно, искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{\frac{\pi R^{2}}{6} + \frac{R^{2}}{2}}{\pi R^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi + 3}{6\pi}}$ .

Ответ

${\frac{\pi + 3}{6\pi}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	601