Информация о задаче

Задача 52935

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На основании равностороннего треугольника как на диаметре построена полуокружность, рассекающая треугольник на две части. Сторона треугольника равна a. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.

Подсказка

Докажите, что указанная полуокружность проходит через середины двух сторон данного треугольника.

Решение

Пусть полуокружность с центром O, построенная на стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре, пересекает его стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Тогда CM — высота треугольника ABC. Поэтому M — середина AB и треугольник MOB подобен треугольнику ACB с коэффициентом ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно, S_MOB = ${\frac{1}{4}}$ S_ABC. Аналогично S_NOC = ${\frac{1}{4}}$ S_ABC.

Поскольку $\angle$ MON = 60^o, то площадь сектора MON составляет шестую часть площади круга радиуса ${\frac{a}{2}}$ , т. е. равна ${\frac{\pi a^{2}}{24}}$ . Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{24}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3\sqrt{3} - \pi)}{24}}$ .

Ответ

${\frac{a^{2}(3\sqrt{3} - \pi)}{24}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	602