ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52935
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На основании равностороннего треугольника как на диаметре построена полуокружность, рассекающая треугольник на две части. Сторона треугольника равна a. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.


Подсказка

Докажите, что указанная полуокружность проходит через середины двух сторон данного треугольника.


Решение

Пусть полуокружность с центром O, построенная на стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре, пересекает его стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Тогда CM — высота треугольника ABC. Поэтому M — середина AB и треугольник MOB подобен треугольнику ACB с коэффициентом $ {\frac{1}{2}}$. Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$MOB = $ {\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC. Аналогично S$\scriptstyle \Delta$NOC = $ {\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.

Поскольку $ \angle$MON = 60o, то площадь сектора MON составляет шестую часть площади круга радиуса $ {\frac{a}{2}}$, т. е. равна $ {\frac{\pi a^{2}}{24}}$. Следовательно, искомая площадь равна

$\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{24}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(3\sqrt{3} - \pi)}{24}}$.


Ответ

$ {\frac{a^{2}(3\sqrt{3} - \pi)}{24}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 602

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .