ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52936
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через точки A и B окружности, рассекает её на две дуги. Длины этих дуг относятся как 1:11. В каком отношении хорда AB делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?


Подсказка

Площадь меньшего из сегментов равна разности площадей сектора с углом 30o и равнобедренного треугольника.


Решение

Точки A и B разбивают окружность на две дуги, меньшая из которых содержит $ {\frac{360^{\circ}}{12}}$ = 30o. Площадь соответствующего сегмента равна разности площадей сектора и треугольника, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{12}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$,

где R — радиус круга. Тогда площадь оставшегося сегмента равна

$\displaystyle \pi$R2 - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}( 11\pi + 3)}{12}}$.

Следовательно, искомое отношение равно $ {\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$.


Ответ

$ {\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 603

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .