Информация о задаче

Задача 52936

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через точки A и B окружности, рассекает её на две дуги. Длины этих дуг относятся как 1:11. В каком отношении хорда AB делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Подсказка

Площадь меньшего из сегментов равна разности площадей сектора с углом 30^o и равнобедренного треугольника.

Решение

Точки A и B разбивают окружность на две дуги, меньшая из которых содержит ${\frac{360^{\circ}}{12}}$ = 30^o. Площадь соответствующего сегмента равна разности площадей сектора и треугольника, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{12}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ ,

где R — радиус круга. Тогда площадь оставшегося сегмента равна

$\displaystyle \pi$ R² - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}( 11\pi + 3)}{12}}$ .

Следовательно, искомое отношение равно ${\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$ .

Ответ

${\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	603