Информация о задаче

Задача 52940

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре описана окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC в точке N. Известно, что AC = 2, AB = 3, AN = 1, 8. Найдите косинус угла BAC.

Подсказка

Найдите отрезки BN и NC и примените теорему косинусов.

Решение

Из прямоугольных треугольников ANC и ANB находим, что

CN = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}- AN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{0,76}$ , BN = $\displaystyle \sqrt{AB^{2}- AN^{2}}$ = 2, 4.

Следовательно, BC = 2, 4 + $\sqrt{0,76}$ .

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2 AB\cdot AC}}$ = $\displaystyle {\frac{13 - (2,4+\sqrt{0,76})^{2}}{12}}$ =

= 0, 52 - 0, 4 $\displaystyle \sqrt{0,76}$ .

Ответ

arccos(0, 52 - 0, 4 $\sqrt{0,76}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	607