ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52946
УсловиеВ окружность с центром O вписан треугольник ABC (A > 90o). Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырёхугольника OEFL, если известно, что AL = 4, AH = и AEH = 60o.
ПодсказкаУглы при основании равнобедренного треугольника AOL равны 15o.
РешениеПусть AC < AB. Поскольку AL - биссектриса угла CAB, то CL = BL. Поэтому CL = BL, а т.к. OC = OB, то точки L и O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Поэтому OL || AH. Пусть P — середина BC. Тогда
POE = 90o - PEO = 90o - AEH = 90o - 60o = 30o,
HAF = PLA = LAO = 15o.
Поскольку
HAE = 30o, то точка F лежит между точками H и E.
SOAL = AL . AL . tg15o = AL2tg15o = 8tg15o,
SFAE = AF . AE sin 15o = . . . sin 15o = . . tg15o = 2tg15o,
SOEFL = SOAL - SFAE = 6tg15o.
Следовательно,
= = .
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|