Информация о задаче

Задача 52950

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона AC равна 3, угол BAC равен 30^o и радиус описанной окружности равен 2. Докажите, что площадь треугольника ABC меньше 3.

Подсказка

Докажите, что хорда AB строго меньше диаметра данной окружности.

Решение

Поскольку AB — хорда окружности с диаметром 4, то AB $\leqslant$ 4. Докажем, что AB < 4.

Пусть AB = 4. Тогда AB — диаметр, $\angle$ C = 90^o, треугольник ABC -- прямоугольный. Поскольку

BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ A

(R — радиус описанной окружности), то BC = 2. Но тогда

BC² + AC² $\displaystyle \ne$ AB² (4 + 9 $\displaystyle \ne$ 16).

Поэтому AB < 4. Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \angle$ A < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^.3^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 3.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	617