Информация о задаче

Задача 52951

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона AB равна 4, угол CAB равен 60^o, а радиус описанной окружности равен 2,2. Докажите, что высота, опущенная из вершины C на AB, меньше ${\frac{11\sqrt{3}}{5}}$ .

Подсказка

Докажите, что высота CD строго меньше стороны CB треугольника ABC.

Решение

Пусть CD — высота треугольника ABC, R — радиус описанной окружности. Заметим, что

CD $\displaystyle \leqslant$ BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ A = 2^.2, 2^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{11\sqrt{3}}{5}}$ .

Докажем, что CD < BC. Предположим, что CD = BC = ${\frac{11\sqrt{3}}{5}}$ . Тогда треугольник ABC — прямоугольный, AB = 4, AC = 2 = ${\frac{22}{5}}$ . Поэтому BC = ${\frac{11\sqrt{3}}{5}}$ , что невозможно, т.к. AC² $\ne$ BC² + AB².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	618