Задача 52961

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан квадрат ABCD со стороной 4. Точка O выбрана в плоскости квадрата так, что  OB = 10,  OD = 6.  Найдите угол между вектором    и вектором, направленным из точки O в наиболее удалённую от неё вершину квадрата.

Решение

  Из условия видно, что  BD = 8.  Следовательно, треугольник BDO – прямоугольный.
  Пусть точки O и C лежат по разные стороны от прямой BD. Тогда  OC² = (6 + ⁸/₂)² + 4² = 116 > OB²  (то есть вершина C наиболее удалена от O). По теореме косинусов  

Ответ

Замечания

Можно также воспользоваться скалярным произведением.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	628