Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

   Решение

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A – прямой, угол B равен 30°. В треугольник вписана окружность радиуса  .
Найдите расстояние от вершины C до точки касания этой окружности с катетом AB.

Решение

  Пусть O – центр окружности, M и N – точки касания с катетами AB и AC. Тогда AMON – квадрат со стороной, равной r,  ∠OCN = ½ ∠C = 30°,
NC = ON = 3,  AC = AN + NC = + 3.
  По теореме Пифагора  CM² = AM² + AC² = 3 + ( + 3)² = 15 + 16.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования