ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52978
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCD вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что AB = $ \sqrt{2}$, $ \angle$ABE = 45o, $ \angle$EBD = 30o и BC = CD. Найдите площадь пятиугольника.


Подсказка

BE — диаметр окружности.


Решение

Пусть R = 1 — радиус окружности. Тогда

AE = 2R sin$\displaystyle \angle$ABE = 2 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно, треугольник EAB — прямоугольный, $ \angle$A = 90o. Поэтому BE — диаметр окружности, BE = 2. Тогда

$\displaystyle \angle$BDE = 90oBD = BE cos 30o = $\displaystyle \sqrt{3}$,

$\displaystyle \angle$DCB = $\displaystyle {\frac{\cup DAB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\cup DE + \cup EAB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{60^{\circ} + 180^{\circ}}{2}}$ = 120o.

Пусть CK — высота треугольника DCB. Тогда

CK = DKtg$\displaystyle \angle$BDC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$DCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BD . CK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$.

Кроме того,

S$\scriptstyle \Delta$ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . AE = 1, S$\scriptstyle \Delta$BDE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BD . DE = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Поэтому

SABCDE = S$\scriptstyle \Delta$ABE + S$\scriptstyle \Delta$BDE + S$\scriptstyle \Delta$DCB = 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}$.


Ответ

1 + $ {\frac{3\sqrt{3}}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 645

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .