Информация о задаче

Задача 52978

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCD вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что AB = $\sqrt{2}$ , $\angle$ ABE = 45^o, $\angle$ EBD = 30^o и BC = CD. Найдите площадь пятиугольника.

Подсказка

BE — диаметр окружности.

Решение

Пусть R = 1 — радиус окружности. Тогда

AE = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABE = 2^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно, треугольник EAB — прямоугольный, $\angle$ A = 90^o. Поэтому BE — диаметр окружности, BE = 2. Тогда

$\displaystyle \angle$ BDE = 90^o, BD = BE cos 30^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

$\displaystyle \angle$ DCB = $\displaystyle {\frac{\cup DAB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\cup DE + \cup EAB}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{60^{\circ} + 180^{\circ}}{2}}$ = 120^o.

Пусть CK — высота треугольника DCB. Тогда

CK = DKtg $\displaystyle \angle$ BDC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Следовательно,

S_DCB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.CK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Кроме того,

S_ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AE = 1, S_BDE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.DE = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Поэтому

S_ABCDE = S_ABE + S_BDE + S_DCB = 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ .

Ответ

1 + ${\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	645