Информация о задаче

Задача 52979

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен R. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6R. Точка A делит отрезок касательной, заключённый между точками касания, в отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

Подсказка

Указанные касательные пересекаются под углом 60^o.

Решение

Пусть BE и CD — общие касательные, B и C — точки касания с большей окружностью (с центром O), D и E — с меньшей (с центром Q).

Из подобия треугольников AEQ и ABO следует, что

AQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ AO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^.6R = 2R.

Поэтому

$\displaystyle \angle$ AQE = $\displaystyle \angle$ AQD = $\displaystyle \angle$ AOC = $\displaystyle \angle$ AOB = 60^o,

S_AQE = S_AQD = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}$ , S - $\displaystyle \Delta$ AOB = S_AOC = $\displaystyle {\frac{9R^{2}\sqrt{3}}{2}}$ .

Радиусы QD и QE разбивают меньший круг на два сектора. Площадь интересующего нас сектора составляет ${\frac{2}{3}}$ площади круга, т.е. ${\frac{2\pi R^{2}}{3}}$ . Площадь соответствующей части большего круга равна 9^. ${\frac{2\pi R^{2}}{3}}$ .

Сложив эти площади с найденными площадями треугольников, получим, что искомая площадь равна

S = 10^. $\displaystyle {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$ + 10R² $\displaystyle \sqrt{3}$ = 10R² $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$ .

Ответ

10R² $\left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$ $\sqrt{3}$ + ${\frac{2\pi}{3}}$ $\left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	646