ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52979
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен R. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6R. Точка A делит отрезок касательной, заключённый между точками касания, в отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.


Подсказка

Указанные касательные пересекаются под углом 60o.


Решение

Пусть BE и CD — общие касательные, B и C — точки касания с большей окружностью (с центром O), D и E — с меньшей (с центром Q).

Из подобия треугольников AEQ и ABO следует, что

AQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$AO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ . 6R = 2R.

Поэтому

$\displaystyle \angle$AQE = $\displaystyle \angle$AQD = $\displaystyle \angle$AOC = $\displaystyle \angle$AOB = 60o,

S$\scriptstyle \Delta$AQE = S$\scriptstyle \Delta$AQD = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}$S - $\displaystyle \Delta$AOB = S$\scriptstyle \Delta$AOC = $\displaystyle {\frac{9R^{2}\sqrt{3}}{2}}$.

Радиусы QD и QE разбивают меньший круг на два сектора. Площадь интересующего нас сектора составляет $ {\frac{2}{3}}$ площади круга, т.е. $ {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$. Площадь соответствующей части большего круга равна 9 . $ {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$.

Сложив эти площади с найденными площадями треугольников, получим, что искомая площадь равна

S = 10 . $\displaystyle {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$ + 10R2$\displaystyle \sqrt{3}$ = 10R2$\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$.


Ответ

10R2$ \left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$$ \sqrt{3}$ + $ {\frac{2\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 646

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .