Информация о задаче

Задача 52981

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапецию ABCD с основаниями BC и AD и боковыми сторонами AB и CD вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если угол DAB прямой, OC = 2, OD = 4.

Подсказка

Треугольник COD — прямоугольный.

Решение

Пусть M — точка касания окружности с боковой стороной CD, r -- радиус окружности. Поскольку $\angle$ COD = 90^o, то

CD = $\displaystyle \sqrt{OC^{2}+ OD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + 16}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{5}$ , OC^.OD = CD^.OM.

Отсюда находим, что

r = OM = $\displaystyle {\frac{OC\cdot OD}{CD}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{5}}}$ .

Высота трапеции: AB = 2R = ${\frac{8}{\sqrt{5}}}$ . Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (CD + AB)^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{72}{5}}$ .

Ответ

${\frac{72}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	648