Информация о задаче

Задача 52989

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник ABC со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна $\sqrt{3}$ . Найдите хорды BD и CD.

Подсказка

С помощью теоремы косинусов для треугольника ADB составьте уравнение относительно BD.

Решение

Предположим, что точка D принадлежит дуге AB, не содержащей точки C. В треугольнике ADB известно, что

AD = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AB = 3, $\displaystyle \angle$ ADB = 120^o.

Обозначим DB = x и запишем теорему косинусов для этого треугольника:

AB² = AD² + BD² - 2AD^.BD cos $\displaystyle \angle$ ADB,

или

9 = 3 + x² + x $\displaystyle \sqrt{3}$ , или x² + x $\displaystyle \sqrt{3}$ - 6 = 0.

Отсюда находим, что x = $\sqrt{3}$ .

В треугольнике ADC известно, что

AD = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AC = 3, $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ ABC = 60^o.

Аналогично находим, что CD = 2 $\sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ , 2 $\sqrt{3}$ или 2 $\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	656