Информация о задаче

Задача 52997

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 20, AC = 24. Известно также, что вершина C, центр вписанного в треугольник ABC круга и точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC лежат на окружности, центр которой лежит на стороне AC. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Подсказка

Выразите углы треугольника через $\alpha$ = $\angle$ ACB/2 и воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Пусть O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, Q - центр окружности, проходящей через точки C, O и M (пересечение биссектрисы угла A со стороной BC), CP - диаметр этой окружности. Обозначим $\angle$ OCA = $\angle$ OCB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ OMP = $\displaystyle \angle$ OCP = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMC = $\displaystyle \angle$ AMP + $\displaystyle \angle$ PMC = $\displaystyle \alpha$ + 90^o,

$\displaystyle \angle$ MAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ AMC - $\displaystyle \angle$ MCA = 180^o - ( $\displaystyle \alpha$ + 90^o) - 2 $\displaystyle \alpha$ = 90^o - 3 $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ BAC = 2^. $\displaystyle \angle$ MAC = 180^o - 6 $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB - $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ - (180^o - 6 $\displaystyle \alpha$ ) = 4 $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов в треугольнике ABC имеем:

AB/sin 2 $\displaystyle \alpha$ = AC/sin 4 $\displaystyle \alpha$ ,или20/sin 2 $\displaystyle \alpha$ = 24/(2^.sin 2 $\displaystyle \alpha$ ^.cos 2 $\displaystyle \alpha$ ).

Отсюда находим, что

cos 2 $\displaystyle \alpha$ = 12/20 = 3/5, sin 2 $\displaystyle \alpha$ = 4/5.

Если R- радиус окружности, описанной около треугольника ABC, то

R = AB/(2^.sin 2 $\displaystyle \alpha$ ) = 25/2.

Ответ

12,5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	664