Информация о задаче

Задача 53012

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O, причём OC = $\sqrt{2}$ . С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключённой между ними.

Подсказка

Найдите косинус угла AOB

Решение

Пусть A и B - точки пересечения окружности со сторонами угла. Обозначим OA = OB = x.

По теореме косинусов

AO² = AC² + OC² - 2AC^.OC cos 135^o,

или

4 = x² + 2 + 2x $\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , x² + 2x - 2 = 0.

Из этого уравнения находим, что x = $\sqrt{3}$ - 1. Тогда

AB = x $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).

По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что

cos $\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\frac{OA^{2} + OB^{2} - AB^{2}}{2OA\cdot OB}}$ = $\displaystyle {\frac{4 + 4 - 2(\sqrt{3} - 1)^{2}}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Поэтому $\angle$ AOB = 30^o и площадь сектора AOB равна ${\frac{4\pi}{12}}$ = ${\frac{\pi}{3}}$ .

Искомая площадь равна разности между площадью этого сектора и суммой площадей треугольников ACO и BCO, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CA^.CO sin 135^o = $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1.

Ответ

${\frac{\pi}{3}}$ - $\sqrt{2}$ + 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	681