Информация о задаче

Задача 53020

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании BC, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как 8:5. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Выразите радиус вписанной окружности через сторону квадрата и тангенс половины угла при основании.

Решение

Пусть вершины K и N квадрата KLMN принадлежат основанию BC треугольника ABC. Обозначим сторону квадрата через x, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC — через r, угол при основании треугольника — $\alpha$ . Тогда, если точка N лежит между K и C, то

NC = $\displaystyle {\frac{MN}{{\rm tg }\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{{\rm tg }\alpha}}$ , BC = BK + KN + NC = $\displaystyle {\frac{2x}{{\rm tg }\frac{\alpha}{2}}}$ + x,

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BCtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2x}{{\rm tg }\alpha} + x}\right.$ $\displaystyle {\frac{2x}{{\rm tg }\alpha}}$ + x $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2x}{{\rm tg }\alpha} + x}\right)$ tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{1 - {\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}\right.$ 1 - tg² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 - {\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}\right)$ + tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

или

1 - tg² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2r}{x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Из полученного уравнения находим, что tg ${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{1}{2}}$ .

Ответ

2arctg ${\frac{1}{2}}$ , 2arctg ${\frac{1}{2}}$ , 180^o - 4arctg ${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	689