Информация о задаче

Задача 53021

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе AB, а две другие — на катетах. Радиус круга, описанного около треугольника ABC, относится к стороне квадрата как 13:6. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Выразите гипотенузу треугольника через сторону квадрата и тангенс острого угла треугольника.

Решение

Пусть вершины M и N квадрата MNKL лежат на гипотенузе AB (M — между N и B). Обозначим сторону квадрата через x, $\angle$ A = $\alpha$ , радиус описанной окружности треугольника ABC — через R.

Из прямоугольных треугольников ANK и BML находим, что

AN = $\displaystyle {\frac{x}{{\rm tg }\alpha}}$ , BM = xtg $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

2R = AB = AN + NM + MB = $\displaystyle {\frac{x}{{\rm tg }\alpha}}$ + x + xtg $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

$\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg }\alpha}}$ + tg $\displaystyle \alpha$ + 1 = $\displaystyle {\frac{2R}{x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{3}}$ ,

или

3tg² $\displaystyle \alpha$ - 10tg $\displaystyle \alpha$ + 3 = 0.

Из этого уравнения находим, что tg $\alpha$ = 3 или tg $\alpha$ = ${\frac{1}{3}}$ .

Ответ

arctg3, arctg ${\frac{1}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	690