Информация о задаче

Задача 53028

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса 3 + 2 $\sqrt{3}$ вписан правильный шестиугольник ABCDEK. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник BCD.

Подсказка

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр.

Решение

Пусть R — радиус данной окружности. В треугольнике BCD известно, что

$\displaystyle \angle$ BCD = 120^o, BC = CD = R, BD = R $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

S_BCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²sin 120^o = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Тогда радиус окружности, вписанной в этот треугольник, можно вычислить по формуле

r = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta BCD}}{BC + CD + BD}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}{2R + R\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{2 + \sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 3)}{2(2 + \sqrt{3})}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	697