Задача 53039

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC, касается стороны BC в точке M.
Докажите, что вписанные окружности треугольника ABM и ACM, касаются отрезка AM в одной точке.

Подсказка

См. задачу 55404.

Решение

  Пусть K и P – точки касания вписанных окружностей треугольников ABM и ACM со стороной AM; p – полупериметр треугольника ABC. Тогда  BM = p – AC,
CM = p – AB,  BM – CM = AB – AC.
  Поэтому  2(MK – MP) = (BM + AM – AB) – ( CM + AM – AC) = (BM – CM) – (AB – AC) = 0.
  Следовательно, точки K и P совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	708