|
|
 |
Условие
В равнобедренную трапецию, основания которой равны a и b (a > b), можно вписать окружность.
Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной около этой трапеции окружностей.
Подсказка
Опустите перпендикуляры из центров указанных окружностей на одну из боковых сторон трапеции, соедините центр вписанной окружности с серединой этой боковой стороны и рассмотрите полученные подобные треугольники.
Решение
Пусть O и Q – центры вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD с основаниями AD = a и BC = b, P – точка касания вписанной окружности с боковой стороной CD, F — середина CD.
Прямая OQ – серединный перпендикуляр отрезков BC и AD, а треугольник COD – прямоугольный. Заметим, что OF = ¼ (a + b),
PF = CF – CP = ¼ (a + b) – b/2 = ½ (a – b). Треугольники OPF и FOQ подобны по двум углам. Поэтому OQ : OF = PF : OP, OP = r = =
,
OQ = OF·PF/OP = .
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 709 |
