Задача 53041

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC отрезок MN с концами на сторонах AC и BC параллелен основанию AB и касается вписанной окружности.  ∠A = 2α ,  ∠B = 2β.
Найдите коэффициент подобия треугольников ABC и MNC.

Подсказка

Коэффициент подобия указанных треугольников равен отношению их полупериметров.

Решение

  Пусть P – точка касания вписанной окружности со стороной AC, r – радиус вписанной окружности. Тогда  AB = r ctg α + r ctg β,  AP = r ctg α,
PC = r ctg ½ ∠C = r ctg(90° – α – β) = r tg(α + β).
  С другой стороны, отрезок PC равен полупериметру треугольника MNC, а полупериметр треугольника ABC равен   r(ctg α + ctg β + tg(α + β)).
  Коэффициент подобия треугольников ABC и MNC равен отношению их полупериметров, то есть  

Ответ

ctg α ctg β.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	710